ความน่าจะเป็น

                                     

                                          บทที่ 3  ความน่าจะเป็น  

      

         ความน่าจะเป็น (Probability)  คือ ค่าที่แสดงให้ทราบถึงโอกาสที่จะเกิดขึ้นในเหตุการณ์หนึ่ง ๆ ว่ามีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด หรือจะกล่าวได้ว่าความน่าจะเป็นคือเครื่องมือที่ใช้วัดความไม่แน่นอนของเหตุการณ์ เช่น ความน่าจะเป็นในการโยนลูกเต๋าหนึ่งลูกหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะด้แต้มเป็นเลขคู่เท่ากับ 0.5 จะเห็นได้ว่าเหตุการณ์ที่กล่าวถึงมานี้ไม่สามารถระบุว่าจะเกิดขึ้นได้อย่างแน่นอนหรือไม่ แต่เพียงคาดว่าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ต่างๆจะเกิดขึ้นมีมากน้อยเพียงใด         

   การทดลองสุ่ม (Random Experiment) คือ การทดลองใด ๆ ที่ไม่สามารถบอกผลการทดลองได้อย่างถูกต้องแน่นอน เนื่องจากผลของการทดลองที่ได้อาจเกิดขึ้นได้หลายอย่างแต่สามารถบอกได้ว่าผลที่จะเกิดขึ้นมีอะไรบ้าง เช่น การหยิบลูกบอลที่มีหมายเลขกำกับตั่งแต่เลข 1 ถึงเลข 5 จากถุงที่มีสีทึบ จะไม่สามารถกำหนดได้ชัดเจนว่าจะหยิบได้ลูกบอลหมายเลขอะไรแต่สามารถบอกได้ว่าลูกบอลที่หยิบขึ้นมาต้องมีหมายเลขกำกับคือเลข 1 ถึงเลข 5 เป็นเลขอื่นไม่ได้เรียกเซตซึ่งสมาชิกในเซตนั้น เป็นผลของการทดลองสุ่มที่เป็นไปได้ทั้งหมดว่า ปริภูมิตัวอย่าง (Sample space) เขียนแทนด้วย S และเรียกสมาชิกของปริภูมิตัวอย่างว่า จุดตัวอย่าง (Simple Point)

ตัวอย่างที่ 3.1 จงหาปริภูมิตัวอย่างของเหตุการณ์เหล่านี้

      1. เหตุการณ์ที่โยนเหรียญปกติ 1 เหรียญ 1 ครั้ง

    S = { H,T } ; n(S) = 2

    H = คือ เหตุการณ์ที่โยนเหรียญออกไปแล้วเหรียญออกหัวเป็นหัว

    T = คือ เหตุการณ์ที่โยนเหรียญออกไปแล้วเหรียญออกหัวเป็นก้อย

      2. เหตุการณ์ที่ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง

         S = {1 , 2, 3, 4, 5, 6} ; n(S) = 6

      3. เหตุการณ์ที่โยนเหรียญปกติ 1 เหรียญพร้อมลูกเต๋า 1 ครั้ง

         S = {(1,H),(2,H),(3,H),(4,H),(5,H),(6,H)

               (1,T),(2,T),(3,T),(4,T),(5,T),(6,T)}

               n(S) = 12

       เหตุการณ์ (Event) หรือเซตย่อย คือสิ่งต่างๆ ที่เราสนใจศึกษาค้นคว้าจากผลการทดลองที่เป็นไปได้ทั้งหมดในปริภูมิตัวอย่าง หรือจะกล่าวได้ว่าเหตุการณ์ คือ เซตย่อยของปริภูมิตัวอย่างเขียนแทนด้วย E ในกรณีที่เหตุการณ์ไม่มีสมาชิกเลยเราเรียกว่าเซตว่าง เขียนแทนด้วย Ø อ่านว่าไฟ (phi) 

ตัวอย่างที่ 3.2 จงหาสมาชิกของเหตุการณ์เหล่านี้

1.เหตุการณ์ที่โยนลูกเต๋า 1 ลูก แล้วได้แต้มน้อยกว่า 3E = {1,2} : n(E) = 22.เหตุการณ์ที่โยนเหรียญปกติ 3 เหรียญ พร้อมกันแล้วออกหัวอย่างน้อย 2 เหรียญ
E = {(H,H,T),(H,T,H),(H,H,H),(T,H,H)} : n(E) = 4
3.เหตุการณ์ที่ทอดลูกเต๋า 2 ลูก พร้อมกันแล้วได้แต้มเท่ากัน
E = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} : n(E) = 6
เนื่องจากปริภูมตัวอย่าง คือ เซตที่ประกอบไปด้วยเหตูการณ์ต่าง ๆ ที่เป็นเซตย่อยของปริภูมินั้น ๆ ความสัมพันธ์ระหว่างเซตมีดังนี้

   ยูเนียน (Union) คือ ตัวร่วมทั้งหมดของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น สัญลักษณ์ คือ ตัว U

    

อินเตอร์เซคชัน (Intersection) คือ ส่วนร่วมเฉพาะเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น สัญลักษณ์  ∩

คอมพลีเม้น (Complement) คือ ส่วนเติมเต็มของเหตูการณ์ เช่น ถ้า n เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ที่เกิดขึ้นในเหตุการณ์ A เหตุการณ์ที่เหลือก็คือ n’

ตัวอย่างที่ 3.3 ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง

ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มน้อยกว่า 4        B เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มตั้งแต่ 3 ขึ้นไปดังนั้น 
           
                A = {1,2,3}                             B = {3,4,5,6} 

                A U B = {1,2,3,4,5,6}        A ∩ B = {3}

ตัวอย่างที่ 3.4 ในการโยนเหรียญปกติ 3 เหรียญ 1 ครั้ง

ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ขึ้นหัวอย่างน้อย 2 เหรียญ 

B เห็นเหตุการณ์ที่ขึ้นก้อย 2 เหรียญ

ดังนั้น A = {(H,H,T),(H,T,H),(H,H,H),(T,H,H)}

           B = {(T,H,T),(H,T,T),(T,T,H)}

    A U B = {(H,H,T),(H,T,H),(H,H,H),(T,H,H),(T,H,T),(H,T,T),(T,T,H)}

   A ∩ B = Ø 

การนับจำนวนจุดตัวอย่าง

การนับจำนวนจุดตัวอย่าง คือ การนับจำนวนสมาชิกทั้งหมดในปริภูมิตัวอย่าง หรือเหตุการณ์ที่สนใจ โดยการนับจำนวนจุดตัวอย่างนั้น มีกรณีที่เกิดขึ้นดังนี้

กรณีที่ 1 เหตุการณ์ใดๆ K เหตุการณ์ ซึ่งประกอบไปด้วยเหตุการณ์ย่อยหลายเหตุการณ์เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน หรือต่อเนื่องกันก็ได้ แต่ละเหตุการณ์มีอยู่ n_i เหตุการณ์ วิธีการนับจุดตัวอย่างจะทำได้โดยการคูณ (Multiplicative) จะได้ n_(1 ). n_(2 ). . . . n_k เหตุการณ์

ตัวอย่างที่ 3.5  ในการทอดลูกเต๋า 1   ลูก พร้อมโยนเหรียญปกติ 1   เหรียญ พร้อมกัน จงหาเหตุการณ์
                                ที่เกิดขึ้นทั้งหมด
กำหนดให้  n_(1)    แทน การทอดลูกเต๋า
                  n_(2)    แทน  การโยนเหรียญ

วิธีทำ    การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง สิ่งที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด 6 เหตุการณ์ คือขึ้นแต้มได้ตั้งแต่ 1 ถึง 6 นั่นคือ
n_(1 ) = 6               การโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1   ครั้ง สิ่งที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด 2 เหตุการณ์ คือ หัวกับก้อย นั่นคือ
n_(2 ) = 2 ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด = n_(1 )× n_(2 )=6×2=12 เหตุการณ์

ตัวอย่างที่ 3.6 กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลอยู่ 25 ลูก แต่ละลูกมีเลขกำกับตั้งแต่ 1 ถึง   25 จงหาเหตุการณ์ในการเลือกหยิบลูกบอลขึ้นมาครั้งละหนึ่งลูก จำนวน 3 ครั้ง โดยหยิบออกมาแล้วไม่ใส่คืนเข้าไปในกล่อง
วิธีทำ        การหยิบลูกบอลลูกแรกทำได้  25 เหตุการณ์                                   
             การหยิบลูกที่สองทำได้          24 เหตุการณ์
                 การหยิบลูกที่สามทำได้          23  เหตุการณ์

   ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด = 25 × 24 × 23 = 13,800 เหตุการณ์              
กรณีที่ 2 เหตุการณ์ใดๆ K เหตุการณ์ ซึ่งประกอบไปด้วยเหตุการณ์ย่อยหลายเหตุการณ์เป็นเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ หรือไม่ต่อเนื่องกัน แต่ละเหตุการณ์มีอยู่ n_i เหตุการณ์ วิธีการนับจุดตัวอย่างจะทำได้โดยการบวก (Additive) จะได้ n_(1 )+ n_(2 )+. . .  n_k เหตุการณ์

ตัวอย่างที่ 3.7 ถุงผ้าใบ 1 ถุง มีลูกแก้วอยู่ 4 สี คือ สีแดง 3 ลูก สีฟ้า 6 ลูก สีเหลือง 9 ลูก และสีเขียว 2 ลูก สุ่มหยิบมา 1 ลูก จงหาเหตุการณ์ที่หยิบลูกแก้ว 1 ลูก แล้วได้ลูกแก้วสีแดง หรือสีเหลือง
วิธีทำ ในถุงมีลูกแก้วสีแดง 3 ลูก
ในถุงมีลูกแก้วสีแดง 9 ลูก
ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด = 3 + 9 = 12 เหตุการณ์

ตัวอย่างที่ 3.8   มหาวิทยาลัยแห่งหนึ่งมีจำนวนนักศึกษาชั้นปีที่ 1 จำนวน 2,400 คน ดังแสดงในตาราง

คณะ	จำนวน(คน)
ครุศาสตร์	640
วิทยาศาสตร์	570
มนุษย์และสังคมศาสตร์	480
วิทยาการจัดการ	450
เทคโนโลยี	260
รวม	2,400

สุ่มเลือกนักศึกษามา 1 คน จงหาเหตุการณ์ที่จะเลือกได้นักศึกษาคณะเทคโนโลยีหรือคณะวิทยาศาสตร์

วิธีทำ นักศึกษาคณะเทคโนโลยีจำนวน  260 คน นักศึกษาคณะวิทยาศาสตร์        570 คน ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด = 260 + 570 = 830 เหตุการณ์

กรณีที่ 3 เหตุการณ์ใดๆ ที่ต้องการพิจารณาลำดับความสำคัญ จัดเรียงสิ่งของให้เป็นลำดับ จะเรียงทั้งหมดหรือบางส่วนก็ได้ เรียกลักษณะอย่างนี้ว่า การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) โดยรูปแบบการจัดลำดับจะแบ่งออกได้เป็น 2 แบบ คือ แบบเส้นตรง และแบบวงกลม



การเรียงสับเปลี่ยนแบบเส้นตรงคือการเรียงลำดับเป็นแนวเส้นตรง แบ่งออกได้ เป็น 3 ลักษณะ คือ  ลักษณะที่ 1 การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่ไม่เหมือนกันจะได้จำนวนเหตุการณ์เท่ากับ ตำแหน่งที่ 1 เลือกสิ่งของ 1 สิ่งจากสิ่งของ n สิ่ง ตำแหน่งที่ 1 จะได้ n เหตุการณ์ ตำแหน่งที่ 2 เลือกสิ่งของ 1 สิ่งจากสิ่งของ n - 1 สิ่ง วางในตำแหน่งที่ 2 จะได้ n - 1 เหตุการณ์ ตำแหน่งที่ 3 เลือกสิ่งของ 1 สิ่งจากสิ่งของ n - 2 สิ่ง วางในตำแหน่งที่ 3 จะได้ n - 2 เหตุการณ์ ⋮ ตำแหน่งที่ n เลือกสิ่งของ 1 สิ่ง วางในตำแหน่งที่ n จะได้ n  เหตุการณ์ ดังนั้นจำนวนเหตุการณ์จะเท่ากับ n .(n -1) .(n - 2) .… .1 จะเท่ากับ n_i

ตัวอย่างที่ 3.9 จงหาเหตุการณ์ที่จะเรียงเสา 6 เสา โดยแต่ละเสามีสีไม่เหมือนกัน
วิธีทำ จำนวนเสามีจำนวน 6 เสา
ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น  = 6! =6 ×5×4×3×2×1 = 720 เหตุการณ์
             ลักษณะที่ 2 การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกัน นำมาจัดครั้งละ r สิ่ง โดยที่ r≤n จะได้จำนวนเหตุการณ์เท่ากับเหตุการณ์
ตำแหน่งที่ 1 เลือกสิ่งของ 1 สิ่งจากสิ่งของ n สิ่ง ตำแหน่งที่ 1 จะได้ n เหตุการณ์
ตำแหน่งที่ 2 เลือกสิ่งของ 1 สิ่งจากสิ่งของ n - 1 สิ่ง วางในตำแหน่งที่ 2 จะได้ n - 1 เหตุการณ์
ตำแหน่งที่ 3 เลือกสิ่งของ 1 สิ่งจากสิ่งของ n - 2 สิ่ง วางในตำแหน่งที่ 3 จะได้ n - 2 เหตุการณ์
⋮
ตำแหน่งที่ r เลือกสิ่งของ 1 สิ่ง จากสิ่งของ n-(r-1) วางในตำแหน่งที่ r-1 จะได้ (n-r+1)  เหตุการณ์
ดังนั้นจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมด คือ  nPr = n(n-1)(n-2)…(n-r+1)
เมื่อ r > n  nPr =     n!                             
                                      ((n-r)!)

ถ้า r = n nPr =       n!           =     n!     =    n!
                                       ((n-r)!)                  0!

***สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคือ  nPr หรือจะเขียนในรูป  P_(n,r ),nPr,P(n,r) ก็ได้

ตัวอย่างที่ 3.10  ลูกเสือหมู่หนึ่งมีจำนวน  8 คน อาจารย์ผู้ควบคุมต้องการเลือกหัวหน้าหมู่และรองหัวหน้าหมู่อย่างละหนึ่งคน อยากทราบว่าอาจารย์ผู้ควบคุมเลือกได้กี่เหตุการณ์
วิธีทำ เลือกหัวหน้าหมู่และรองหัวหน้าหมู่ 2 คน จาก 8 คน โดยคนแรกให้เป็นหัวหน้าหมู่ คนที่สองให้เป็นรองหัวหน้าหมู่ ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น = 8P_2 =   8!   = 8 × 7 = 56 เหตุการณ์                                                                                                                                                     6!

ตัวอย่างที่ 3.11 พิธีกรรายการหนึ่ง ต้องการแนะนำชื่อผู้เข้าร่วมรายการจำนวน 4 คน พิธีกรสามารถแนะนำรายชื่อผู้เข้าร่วมรายการได้กี่เหตุการณ์
วิธีทำ พิธีกรสามารถแนะนำใครก่อนก็ได้ จะได้ r  = n  ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น = 4P_4 =   4!  = 4! = 24 วิธี                                                                                                                                                                        0!

ลักษณะที่ 3 การเรียงสับเปลี่ยน สิ่งของ n สิ่ง โดยบางสิ่งซ้ำกัน สามารถแบ่งออกได้เป็น k กลุ่ม จำนวนสิ่งของซ้ำกัน คือ n_(1 ). n_(2 ). . . . n_k สิ่ง จะได้จำนวนเหตุการณ์เท่ากับ
                 n!                                       เหตุการณ์
    (n_1 ! .n_2 ! ....n_k ! )

 

ตัวอย่างที่ 3.12 พนักงานคนหนึ่งต้องการเรียงหนังสือบนชั้นโชว์ มีหนังสืออยู่ทั้งหมด 8 เล่ม แต่ละเล่มมีขนาดเท่ากัน มีหน้าปกสีฟ้าอยู่ 4 เล่ม สีดำ 2 เล่มและสีเหลือง 2 เล่ม อยากทราบว่าพนักงานคนนี้สามารถจัดเรียงหนังสือบนชั้นโชว์ได้ทั้งหมดกี่เหตุการณ์
วิธีทำ หนังสือมีทั้งหมด 8 เล่ม หน้าปกสีฟ้ามีอยู่ 4 เล่ม สีดำ 2 เล่มและสีเหลือง 2 เล่ม
ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น =    8!     =    ( 8×7×6×5)     =   420      เหตุการณ์                                                                                                                  4!2!2!                    (2×2)                                                                                                            

ตัวอย่างที่ 3.13 อยากทราบว่าสามารถเรียงสับเปลี่ยน คำว่า “กนกวรรณ” ได้กี่เหตุการณ์

วิธีทำ ตัวอักษรมีทั้งหมด 7 ตัว เป็นอักษร ก. 2 ตัว อักษร น. 1 ตัว อักษร ว. 1 ตัว อักษร ร. 2 ตัวและอักษร ณ. 1 ตัว

ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น

=     7!        
     2!1!1!2!1

=  (7×6×5×4×3)
              2

=1260 เหตุการณ์

การเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม  คือ การเรียงลำดับเป็นวงกลมแบ่งออกได้เป็น 2 ลักษณะ คือ

ลักษณะที่ 1 การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่งที่ไม่เหมือนกันจะได้จำนวนเหตุการณ์เท่ากับ (n-1)! เหตุการณ์

ตัวอย่างที่ 3.14     เจ้าของสวนแห่งหนึ่งต้องการปลูกต้นไม้รอบบ่อปลารูปทรงวงกลม โดยมีต้นไม้ ที่ต่างชนิดกัน จำนวน 7 ต้น เจ้าของสวนคนนี้สามารถเลือกการวางลำดับในการปลูกต้นไม้ได้กี่เหตุการณ์
วิธีทำ จำนวนต้นไม้มีจำนวนทั้งหมด 7 ต้น               
ดังนั้น     เหตุการณ์ที่เกิดขึ้น =  (7-1)!     =  6×5×4×3×2×1  =    720 เหตุการณ์

ตัวอย่างที่ 3.15 เทศบาลอำเภอแห่งหนึ่ง ต้องการปักธงสีรอบวงเวียนหน้าสำนักงาน โดยมีธงทั้งหมด 10 ผืน 10 สี อยากทราบว่าสามารถปักธงรอบวงเวียนนี้ได้ทั้งหมดกี่เหตุการณ์
วิธีทำ จำนวนธงทั้งหมด 10 ผืน ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น =(10-1)! =9×8×7×6×5×4×3×2×1 =362880 เหตุการณ์
ลักษณะที่ 2 การเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ที่ไม่เหมือนกันมาจัดครั้งละ r สิ่งที่จะได้ จำนวนเหตุการณ์เท่ากับ       n!      เหตุการณ์                                                                                                                                                                      (n-r)!r

ตัวอย่างที่ 3.16 สมพรซื้อโต๊ะรับแขกมาใหม่ 1 ตัว เป็นทรงกลม โดยเขามีเก้าอี้สีต่างกัน 8 ตัว สมพรต้องการวางเก้าอี้ 5 ตัว รอบโต๊ะตัวนี้ อยากทราบว่าสามารถวางเก้าอี้รอบโต๊ะนี้ได้ทั้งหมดกี่เหตุการณ์ 

        วิธีทำ จำนวนเก้าอี้มีทั้งหมด 8 ตัว ต้องการใช้ทั้งหมด 5 ตัว ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น     8!      =  1344 เหตุการณ์                                                                                                                                            (8-5)!5

ตัวอย่างที่ 3.17 หน่วยงานแห่งหนึ่งได้จัดการประชุมโดยให้หน่วยงานย่อยส่งคนมาร่วมประชุมทั้งหมด 12 คน ในห้องประชุมมีโต๊ะทรงกรมมีเก้าอี้รอบโต๊ะเพียง 8 ตัว ส่วนที่เหลือจะเป็นเก้าอี้เสริมอยากทราบว่าผู้เข้าร่วมประชุมสามารถนั่งเก้าอี้รอบโต๊ะได้ทั้งหมดกี่เหตุการณ์
             วิธีทำ จำนวนเก้าอี้มีทั้งหมด 8 ตัว ต้องการใช้ทั้งหมด 8 ตัว ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น =     12!    = 2,494,800 เหตุการณ์                                                                                                             ((12-8)!8)

                กรณีที่ 4 เหตุการณ์ใดๆ ที่ไม่ต้องมีการพิจารณาลำดับความสำคัญ ในการจัดเรียงสิ่งของจะเรียงทั้งหมดหรือบางส่วนก็ได้ เรียกลักษณะอย่างนี้ว่า การจัดหมู่ (Combination) ถ้ามีของ n สิ่งแตกต่างกันเลือกหรือจัดโดยไม่คำนึงถึงลำดับครั้งละ r สิ่ง (r≤n) จะทำได้  nCr  หรือ (n/r)  =     n!     เหตุการณ์                                                                                                                                                                        (n-r)!r!

ตัวอย่างที่ 3.18 ในถุงผ้ามีลูกแก้วอยู่ 7 ลูก สุ่มหยิบลูกแก้วมา 4  ลูก อยากทราบว่ามีเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมดกี่เหตุการณ์
วิธีทำ จำนวนลูกแก้วทั้งหมด 7 ลูก สุ่มหยิบลูกแก้วมา 4 ลูก ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น =     7!     =  35 เหตุการณ์                                                                                                                                                            ((7-4)!4!)

ตัวอย่างที่ 3.19 ห้องเรียนอนุบาลมีนักเรียนทั้งหมด 25 คน เป็นเด็กผู้ชาย 10 คน และเด็กผู้หญิง 15  คน ครูประจำชั้นต้องการเลือกเด็กผู้ชาย 5 คน และเด็กผู้หญิง 5 คน มาร่วมขบวนในงานกีฬาภายในโรงเรียน ครูประจำชั้นสามารถเลือกนักเรียนได้ทั้งหมดกี่เหตุการณ์

วิธีทำ เด็กผู้ชายมีจำนวนทั้งหมด 10 คน ต้องการ 5 คน เหตุการณ์ที่เกิดขึ้น =     10!    =  252 เหตุการณ์                                                                                                                                                      (10-5)!5! 

เด็กผู้หญิงมีจำนวนทั้งหมด 15 คน ต้องการ 5 คน เหตุการณ์ที่เกิดขึ้น =    15!     =  3003 เหตุการณ์                                                                                                                                                     (10-5)!5! 

ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น =252 ×3003=756756 เหตุการณ์

แบบฝึกหัดบทที่ 3

1. ถุงผ้าใบหนึ่งมีลูกแก้วอยู่ 4 สี คือสีเหลือง 4 ลูก สีแดง 3 ลูก สีฟ้า 3 ลูก และสีเขียว 2 ลูก จงหา       
     1.1 ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มหยิบมา 1 ลูกแล้วได้ลูกแก้วสีฟ้า             
     1.2 ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มหยิบมา 2 ลูกแล้วได้ลูกที่ 1 เป็นสีเขียว และลูกที่ 2 เป็นสีแดง โดยการสุ่มหยิบขึ้นมา แล้วไม่นำลูกแก้วที่สุ่มขึ้นมาได้ใส่กลับเข้าไปในถุง       
             1.1 วิธีทำ      P(E)  =    (n(E))                                                                                                                                                   (n(S))

สุ่มหยิบลูกแก้ว 1 ลูกแล้วได้สีฟ้า เนื่องจากลูกแก้วสีฟ้ามี 3 ลูก จะได้
n(E) = 3 เหตุการณ์มีลูกแก้วอยู่ 4 สี คือสีเหลือง 4 ลูก สีแดง 3 ลูก สีฟ้า 3 ลูก และสีเขียว 2 ลูก 
ดังนั้น     P(E)  =   3/12  =  1/4   =  0.25

n(S) = 4 + 3 + 3 + 2 = 12 เหตุการณ์

ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มหยิบมา 1 ลูกแล้วได้ลูกแก้วสีฟ้าเท่ากับ 0.25        

               1.2 วิธีทำ            P(E)  =    (n(E))                                                                                                                                                   (n(S))

สุ่มหยิบลูกแก้ว 1 ลูก ให้ได้ลูกสีเขียวเป็นลูกแลกโดยไม่ใส่คืน จะได้ n(E)/n(S) = 2/12 = 0.16
สุ่มหยิบลูกแก้วอีก 1 ลูก ให้ได้ลูกสีแดงเป็นลูกที่สองโดยไม่ใส่คืน จะได้ n(E)/n(S) = 3/11 = 0.27
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มหยิบลูก 2 ลูกแล้วได้ลูกที่ 1 เป็นสีเขียว และลูกที่ 2 เป็นสีแดงโดยไม่นำลูกแก้วที่สุ่มขึ้นมาได้ใส่กลับเข้าไปในถุงอีกจะได้ = 0.16 x 0.27 = 0.043 

2. ในกล่องใบหนึ่งมีฉลากอยู่ 15 ใบ โดยแต่ละใบมีหมายเลขกำกับ คือ เลข 1 จำนวน 6 ใบ เลข 2 จำนวน 5
ใบ และเลข 3 จำนวน 4 ใบ จงหาความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบมา 1 ใบ แล้วได้หมายเลข 2 หรือ หมายเลข 3
         วิธีทำ            P(E)  =    (n(E))                                                                                                                                                   (n(S))

 สุ่มหยิบมา 1 ใบ แล้วได้หมายเลข 2 จะได้     n(E) = 5 เหตุการณ์
สุ่มหยิบมา 1 ใบ แล้วได้หมายเลข 3 จะได้      n(E) = 4เหตุการณ์
n(E) = 5 + 4 = 9 เหตุการณ์
กล่องใบหนึ่งมีฉลากอยู่ 15 ใบ                      n(S) = 15
ดังนั้น      ความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบมา 1 ใบ แล้วได้หมายเลข 2 หรือ หมายเลข 3 เท่ากับ 0.6

3. บริษัทแห่งหนึ่งมีลานจอดรถยนต์สำหรับพนักงานซึ่งจอดได้ 4 คัน เท่ากับจำนวนรถยนต์ของพนักงานโดยพนักงานแต่ละคนมีรถยนต์ยี่ห้อต่างกัน คือ ยี่ห้อโตโยต้า ยี่ห้อฮอนด้า ยี่ห้ออีซูซุ และยี่ห้อมิชซูบิชิ จงหาความน่าจะเป็นที่รถยนต์ยี่ห้อโตโยต้าจะจอดอยู่ริมขวาสุดของลานจอดรถ       
            วิธีทำ            P(E)  =    (n(E))                                                                                                                                                   (n(S))

เหตุการณ์ที่รถยนต์ยี่ห้อโตโยต้า อยู่ฝั่งทางขวามือ
n(E) = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 (มาจากการเรียงสับเปลี่ยนแนวเส้นตรง จากสูตร คือ n! และ n คือจำนวนที่สับเปลี่ยน)เหตุกาณ์ทั้งหมด
n(S) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
ดังนั้น     P(E)=6/24=1/4=0.25 

คณะผู้จัดทำเว็บ
1.นางสาววาสินี กิจเกียรติ์ 60814003001
2.นายคงคชา มุราชัย 60814003005
3.นางสาวศุภวรรณ ฝากดี 60814003026
4.นางสาวสุมณฑา พรพรหม 60814003027
คณะครุศาสตร์ สาขาวิชาคณิตศาสตร์ ชั้นปีที่ 2 ห้อง 3

ที่มา : ชยนนท์ ฮมแสน.2560.สถิติเบื้องต้น.สำนักวิชาศึกษาทั่วไป มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี.